整數的運算

整數的運算

整數四則運算史：

我國古代是用算籌記數的，靠擺弄算籌進行四則計算。

籌算的加減法，雖然古書沒有記載，但從乘、除法中可以看出都是從高位起逐位相加或相減，同一位的兩數相加，滿十向前位增一籌，同一位相減，被減數不夠減時向前一位取一籌作十再減，例如 456+789 的計算過程如下：

籌算的乘除法則利用乘法口訣。早在二千五百年前，我國已有乘法口訣，那時的口訣是從 “ 九九八十一 ” 開始，到 “ 二二如四 ” 為止，後來補充了“ 一一如一 ”等九句，大概在十三、四世紀時才改為從“ 一一如一 ”開始，到 “ 九九八十一 ” 為止，並一直沿用到現在。乘除法的計算，在《孫子算經》、《夏侯陽算經》巳有詳細的例題。如 78×56 的計算過程如下：

除法的演算步驟和乘法相反	用算籌佈置一數於上，一數於下，下數的末一位與上數的首位對齊。
	以上數的首位乘下數各位，用算籌逐步將乘得的數置於上下兩數的中間。
	將上數的首位去掉，下數向右移一位，再用上數的第二位乘下數各位。
	將乘得的數用算籌併入中間巳得的積，直到上數各位一一去掉。

從公元 8 世紀起，我國就不斷對籌算進行改革，逐漸演變為後來的珠算。

埃及的四則計算採用的是選加法，計算起來比較繁複。乘除法也是化成迭加步驟來做的。

歐洲在阿拉伯數字傳入之前，採用的是羅馬數字，計算起來也十分繁複。中世紀阿拉伯數字傳入歐洲以後，四則計算得到簡化，但和現代的方法仍有很大差別。

公元 15 世紀，乘法的計算方法已有好幾種。意大利的一本算術書講述了一種 “ 格子乘法 ” ，後來傳入中國，明末程大位著《算法統宗》中稱為“鋪地錦 ” 。例如 934×314 ，把乘數和被乘數分別寫在格子的右方和上方。每兩個數的積寫在格子裏 ( 如 4×3 = 12 寫在右上角的格子裏 ) ，斜行相加便得出積 293276 。現在使用的筆算乘法也已開始出現，不過這種方法當時很少有人使用。

中世紀歐洲流行的除法和現在也很不相同。較通行的一種叫做 “帆船” 除法或 “ 勾劃 ” 除法。在計算時，隨將已處理完的數劃掉。計算完畢，在沙上或紙上留下一行又一行已劃掉的數字，好像一隻帆船。帆船除法在歐洲盛行了三百年以上。到了 17 世紀，才開始改用現行的除法。

四則運算的種種符號是從 15 也紀才開始逐漸使用的。

加號 “+” 和減號 “-” 是在公元 15 世紀由德國人引入的，用來表示箱子重量的盈虧，後來被數學家所襲用。

乘號 “×” 是在公元 17 世紀由英國數學家歐德萊最先使用的，德國數學家萊布尼茲認為 “×” 號易同 c 相混，主張用 “‧” 作乘號。直到今天 “×” 和 “‧” 還並用。

除號 “÷” 是在公元 17 世紀由瑞士人拉恩創造的。後來萊布尼茲主採用 “：” 作除號，當時流行的比號一致。現在有些國家的除號和比號都用 “：” 表示。

等號 “=” 是在 16 世紀由一位英國皇家法庭的醫生羅伯特雷科達首創的。

大於號 “>” 小於號 “<” 是在公元 17 世紀由哈利阿創造的。

小括號 “( )” 是在公元 17 世紀由蘭人吉拉特首先使用的，中括號 “【】” 首次出現於 17 世紀瓦里士的著作中，大括號 “{ }”是在 16世紀末由代數學的創始人之一的維達創造，並用於數學運算之中。