數 型

三 角 形 數

最 早 的 幻 方

三 角 形 數 ：

2500 年 前 ， 古 希 臘 數 學 家 畢 達 哥 拉 斯 喜 歡 在 沙 灘 上 用 小 石 子 擺 出 不 同 的 幾 何 圖 形 ， 結 果 發 現 了 一 系 列 的 形 數 ， 包 括 有 三 角 形 數 、 正 方 形 數 、 五 邊 形 數 和 更 一 般 的 多 邊 形 數 。 他 直 觀 地 發 現 了 自 然 數 的 一 個 規 律 ： 任 何 由 1 開 始 的 連 續 個 自 然 數 之 和 都 是 三 角 形 數 。 如 果 用 英 文 字 母 「 n 」 表 示 最 後 一 個 加 數 ， 那 麼
1+2+3 +•••+n =
此 是 第 n 個 三 角形 數 的 一 般 表 達 公 式 。

最 早 的 幻 方 ：

中 國 古 代 流 傳 著 一 則 神 話 ： 相 傳 在 大 禹 治 水 的 年 代 ， 陝 西 的 洛 水 常 有 水 患 。 人 們 常 在 洪 水 氾 濫 的 季 節 來 臨 之 前 ， 都 抬 著 三 牲 祭 品 到 洛 水 祭 河 神 。 每 次 祭 神 時 ， 都 出 現 一 隻 大 烏 龜 ， 龜 殼 上 有 黑 的 小 圓 點 ， 排 成 以 下 的 圖 案 ：

這 隻 烏 龜 每 次 都 繞 著 祭 品 轉 一 圈 便 離 去 。 之 後 ， 河 水 依 然 會 氾 濫 。

後 來 ， 人 們 開 始 懷 疑 這 烏 龜 的 出 現 是 有 古 怪 的 ， 於 是 便 細 心 觀 察 牠 殼 上 的 圓 點 ， 發 覺 好 像 是 1 - 9 這 幾 個 數 目 ， 可 是 他 們 都 不 明 其 意 。 後 來 有 一 個 小 孩 忽 然 地 大 叫 起 來 ： 「 這 些 小 圓 點 不 論 橫 加 、 豎 加 或 斜 加 ， 結 果 都 是 15 ！ 」 人 們 就 想 河 神 可 能 借 此 表 示 每 樣 祭 品 都 要 15 份，於 是 他 們 就 憑 此 意 準 備 祭 品 。 果 然 ， 河 水 從 此 再 沒 有 氾 濫 了 。 後 人 稱 烏 龜 殼 上 的 圓 點 為 「 洛 書 」， 這 是 世 界 上 最 早 的 三 階 幻 方 。

根 據 很 多 數 學 史 家 的 考 證 ， 「 洛 書 」 傳 說 開 始 於 北 宋 （ 公 元 960 年 ） ， 而 上 面 所 說 的 三 階 幻 方 最 早 見 於 中 國 春 秋 時 期 ( 大 約 公 元 前 500 年 左 右 ) 的 著 作 《大 戴 禮 記》 之 中 。

幻 方 在 西 方 稱 為 「 魔 方 」(magic square) ， 在 中 國 古 時 候 則 稱 為 「縱 橫 圖 」 。