數 學 故 事 廊


奇 妙 的 自 然 數

趣 味 的 質 數

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奇 妙 的 自 然 數 : 收聽
  人 類 要 對 自 然 數 1 , 2 , 3 , . . . . . . 有 一 番 認 識 , 是 需 要 經 歷 一 段 相 當 長 的 時 間 的 。

當 我 們 的 老 祖 宗 在 三 萬 多 年 前 打 完 野 獸 , 吃 飽 了 獸 肉 後 , 便 在 所 住 的 洞 穴 畫 上 他 打 的 野 獸 的 樣 子 , 並 且 像 流 落 在 荒 島 的 魯 賓 遜 (Robinson Crusoe) 一 樣 用 劃 線 代 表 所 捕 獲 的 野 獸 的 數 目 。 劃 一 條 線 代 表 打 死 一 隻 野 雉 、 兩 條 線 代 表 兩隻 兔 子 ,諸 如 此 類 。 開 始 認 識 了 1, 2, 3。

後 來 老 祖 宗 的 子 孫 開 始 懂 得 把 捉 來 的 小 動 物 畜 養 起 來 , 結 束 那 茹 毛 飲 血 的 穴 居 生 活 , 漸 漸 進 入 畜 牧 的 年 代 。 這 時 人 類 要 懂 得 更 多 的 數 , 以 便 能 計 算 自 己 的 羊 圈 的 羊 群 數 目 。

等 到 幾 代 後 的 曾 孫 不 想 過 擇 水 草 而 居 的 遷 徙 生 活, 發 現 耕 種 比 到 處 奔 波 的 生 活 好 過 些 , 人 類 的 農 業 時 代 終 於 到 來 了。 這 時 人 類 所 收 成 的 穀 麥 之 類 的 數 量 是 很 大 的 , 因 此 有 需 要 認 識 更 大 的 自 然 數 。

人 類 從 懂 得 1, 2, 3 這 幾 個 屈 指 可 數 的 數 , 到 懂 得 百 、 千 、 萬 、 億 等 大 數 , 是 人 類 認 識 數 字 的 一 個 飛 躍 。

不 過 時 至 今 日 ,在 緬 甸 、 泰 國 或 菲 律 賓 等 國 家,還 有 一 些 生 活 在 深 山 的 少 數 民 族 , 他 們 對 自 然 數 的 認 識 不 超 過 7 , 7 之 後 的 數 對 他 們 來 說 是 很 大 , 不 能 算 得 清。 此外 , 在 非 洲 、 南 美 洲 和 澳 洲 等 地 方 ,也 有 一 些 生 活 在 石 器 時 代 的 民 族 , 他 們 懂 得 的 數 不 會 超 過 3 , 3 之 後 的 數 對 他 們 來 說 就 是 個 很 大 的 數 。

 

趣 味 的 質 數 : 收聽
  一 個 大 於 1 的 自 然 數 ,如 果 除 了 1 和 它 本 身 以 外 再 沒 有 其 他 的 因 數 , 我 們 就 稱 它 做 質 數 ( Prime Number ) 。 根 據 這 個 定 義 , 我 們 會 很 容 易 找 出 10 以 內 的 所 有 質 數 , 即 2, 3 , 5 和 7 。

我 們 在 小 學 時 知 道 一 個 這 樣 的 性 質 : 「任 意 一 個 整 數 都 可 以 唯 一 地 分 解 成 為 質 因 數 的 乘 積 。」因 此 質 數 對 整 數 而 言 , 就 好 像 是 組 成 整 數 的 「 原 子 」 一 般 重 要 。

究 竟 怎 樣 有 系 統 地 尋 找 質 數 呢?

在 二 千 年 前 的 埃 及 , 有 一 個 命 叫 伊 拉 托 斯 丁 納 ( Eratosthenes 公 元 前 276 - 194 ) 的 希 臘 學 者 , 他 是 阿 歷 山 大 圖 書 館 的 管 理 員 , 發 現 了 後 來 以 他 的 名 字 命 名 的 方 法 , 稱 為 篩 法 ( Sieve Method ) 。 利 用 這 個 方 法 可 以 很 有 系 統 地 將 質 數 從 像 砂 子 般 那 麼 多 的 整 數 中 篩 選 出 來 ,其 法 如 下 :

「順 序 寫 下 1 , 2 , 3 , 4 , . . . ,至 某 個 自 然 數 N 。 先 刪 去 1 ,再 刪 去 所 有 2 的 倍 數 。 餘 下 第 一 個 沒 有 被 刪 去 的 數 是 3 , 於 是 再 刪 去 所 有 3 的 倍 數 。 按 著 餘 下 的 第 一 個 沒 有 被 劃 去 的 數 是 5 , 於 是 再 刪 去 所 有 5 的 倍 數 , 餘 此 類 推 ,那 麼 沒 被 刪 去 的 數 便 是 不 超 過 N 的 所 有 質 數 。」